1の3乗根のうち虚数であるものの1つを $\omega$ とする。このとき、以下の値を求めよ。 * $\omega^2 + \omega$ * $\omega^{10} + \omega^5$ * $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$ * $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$ 与えられた条件: $\omega^3 = 1$, $\omega^2 + \omega + 1 = 0$

1. 問題の内容

1の3乗根のうち虚数であるものの1つを $\omega$ とする。このとき、以下の値を求めよ。

* $\omega^2 + \omega$

* $\omega^{10} + \omega^5$

* $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$

* $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$

与えられた条件: $\omega^3 = 1$, $\omega^2 + \omega + 1 = 0$

2. 解き方の手順

* $\omega^2 + \omega$:

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$より、$\omega^2 + \omega = -1$

* $\omega^{10} + \omega^5$:

$\omega^3 = 1$なので、$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$, $\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = \omega^2$。したがって、$\omega^{10} + \omega^5 = \omega + \omega^2 = -1$

* $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$:

$\frac{1}{\omega^{10}} = \frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2$, $\frac{1}{\omega^5} = \frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega}{\omega^3} = \omega$。したがって、$\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$

* $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$:

$(\omega^2 + 5\omega)^2 = (\omega^2)^2 + 10\omega^3 + 25\omega^2 = \omega^4 + 10 + 25\omega^2 = \omega + 10 + 25\omega^2$

$(5\omega^2 + \omega)^2 = 25\omega^4 + 10\omega^3 + \omega^2 = 25\omega + 10 + \omega^2$

$(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2 = (\omega + 10 + 25\omega^2) + (25\omega + 10 + \omega^2) = 26\omega^2 + 26\omega + 20 = 26(\omega^2 + \omega) + 20 = 26(-1) + 20 = -26 + 20 = -6$

3. 最終的な答え

* $\omega^2 + \omega = -1$

* $\omega^{10} + \omega^5 = -1$

* $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = 0$

* $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2 = -6$