与えられた2次関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 \le x \le 2$) (2) $y = -x^2 + 4x - 1$ ($0 < x \le 1$)

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 \le x \le 2$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 1$ ($0 < x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 \le x \le 2$)

まず、平方完成を行います。

$y = (x - 1)^2 - 1 + 2$

$y = (x - 1)^2 + 1$

これは下に凸な放物線で、頂点は $(1, 1)$ です。定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を調べます。

頂点のx座標 $x=1$ は定義域内に含まれています。したがって、$x = 1$ で最小値をとります。

最小値: $y = (1-1)^2 + 1 = 1$

定義域の端点 $x = -1$ と $x = 2$ での $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 - 2(-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$

$x = 2$ のとき、$y = (2)^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

したがって、$x = -1$ で最大値をとります。

最大値: $y = 5$

(2) $y = -x^2 + 4x - 1$ ($0 < x \le 1$)

まず、平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 4x) - 1$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1$

$y = -(x - 2)^2 + 4 - 1$

$y = -(x - 2)^2 + 3$

これは上に凸な放物線で、頂点は $(2, 3)$ です。定義域 $0 < x \le 1$ における最大値と最小値を調べます。

頂点のx座標 $x=2$ は定義域に含まれていません。したがって、最大値は定義域の端点でとる可能性があります。

$x=1$ のとき、$y = -(1-2)^2 + 3 = -1 + 3 = 2$

定義域の端点 $x=0$ は含まれませんが、 $x$ が $0$ に近づくとき、$y$ は $-1$ に近づきます。

$x=0$ のとき、$y = -0^2 + 4(0) - 1 = -1$.

したがって、$x = 1$ で最大値をとります。

最大値: $y = 2$

最小値はありません ($x=0$を含まないため)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5 ($x = -1$ のとき), 最小値: 1 ($x = 1$ のとき)

(2) 最大値: 2 ($x = 1$ のとき), 最小値: なし