ある通信会社の携帯電話料金プランが3種類（プランA, プランB, プランC）あり、それぞれの基本料金と通話料金が設定されている。花子さんと太郎さんの1ヶ月の利用料金をそれぞれ$P$円、$Q$円とする。花子さんはプランAを利用し、太郎さんはプランBを利用している。 (1) 花子さんの1ヶ月の利用料金$P$が7000円となるような$x$の値を求める。 (2) 花子さんと太郎さんの1ヶ月の利用料金の差$|P-Q|$が1200円となるような$x$の値を求める。 (3) 花子さんがプランCを利用し、太郎さんがプランBを利用する場合について、2つの条件を考える。条件1は$|P-Q| \le 1200$を満たす、$x$の値の範囲を求める。条件2は、プランCを利用した花子さんの料金がプランAを利用していた時の料金以下になる。条件1,2をともに満たす$x$の範囲を求める。

1. 問題の内容

ある通信会社の携帯電話料金プランが3種類（プランA, プランB, プランC）あり、それぞれの基本料金と通話料金が設定されている。花子さんと太郎さんの1ヶ月の利用料金をそれぞれ$P$円、$Q$円とする。花子さんはプランAを利用し、太郎さんはプランBを利用している。

(1) 花子さんの1ヶ月の利用料金$P$が7000円となるような$x$の値を求める。

(2) 花子さんと太郎さんの1ヶ月の利用料金の差$|P-Q|$が1200円となるような$x$の値を求める。

(3) 花子さんがプランCを利用し、太郎さんがプランBを利用する場合について、2つの条件を考える。条件1は$|P-Q| \le 1200$を満たす、$x$の値の範囲を求める。条件2は、プランCを利用した花子さんの料金がプランAを利用していた時の料金以下になる。条件1,2をともに満たす$x$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 花子さんはプランAを利用しているので、通話時間が240分を超えている場合、料金$P$は、

$P = 6000 + 10(x - 240)$

となる。$P=7000$を代入して$x$を求める。

$7000 = 6000 + 10(x - 240)$

$7000 = 6000 + 10x - 2400$

$7000 = 3600 + 10x$

$3400 = 10x$

$x = 340$

(2) 花子さんはプランA、太郎さんはプランBを利用している。

花子さんの料金$P$は、$x > 240$のとき、$P = 6000 + 10(x - 240) = 10x + 3600$

太郎さんの料金$Q$は、$Q = 500 + 20x$。

$|P-Q| = 1200$なので、$P-Q = 1200$または$Q-P = 1200$。

$P-Q = 1200$の場合、

$10x + 3600 - (500 + 20x) = 1200$

$-10x + 3100 = 1200$

$-10x = -1900$

$x = 190$

これは$x > 240$を満たさないので不適。

$Q-P = 1200$の場合、

$500 + 20x - (10x + 3600) = 1200$

$10x - 3100 = 1200$

$10x = 4300$

$x = 430$

次に$x \le 240$の場合を考える。

花子さんの料金$P$は$P=6000$、太郎さんの料金は$Q = 500 + 20x$

$|P-Q|=1200$なので、$P-Q=1200$または$Q-P=1200$

$P-Q=1200$の場合、

$6000 - (500 + 20x) = 1200$

$5500 - 20x = 1200$

$-20x = -4300$

$x = 215$

これは$x \le 240$を満たす。

$Q-P=1200$の場合、

$500 + 20x - 6000 = 1200$

$20x - 5500 = 1200$

$20x = 6700$

$x = 335$

これは$x \le 240$を満たさないので不適。

したがって、$x = 215, 430$

(3) 花子さんはプランC、太郎さんはプランB。

花子さんの料金$P$は、$x > 300$のとき、$P = 5000 + 15(x - 300) = 15x + 500$

太郎さんの料金$Q = 500 + 20x$

$|P-Q| \le 1200$

$-1200 \le P-Q \le 1200$

$-1200 \le 15x + 500 - (500 + 20x) \le 1200$

$-1200 \le -5x \le 1200$

$-240 \le x \le 240$

したがって、この場合は、$300<x$を満たさないので不適

$100 < x \le 300$ の場合

$P = 5000 + 5(x - 100) = 5x + 4500$

$-1200 \le 5x + 4500 - (500 + 20x) \le 1200$

$-1200 \le -15x + 4000 \le 1200$

$-5200 \le -15x \le -2800$

$2800/15 \le x \le 5200/15$

$186.67 \le x \le 346.67$

$x$の範囲は$186.67 \le x \le 300$

$x \le 100$ の場合

$P = 5000$

$-1200 \le 5000 - (500 + 20x) \le 1200$

$-1200 \le 4500 - 20x \le 1200$

$-5700 \le -20x \le -3300$

$165 \le x \le 285$

この場合は$x \le 100$を満たさないので不適。

したがって、条件1を満たす$x$の範囲は$186.67 \le x \le 300$。

花子さんの料金がプランAを利用していた時以下の料金になるという条件2

$P_{プランA} = 6000+10(x-240)=10x+3600$ ($x>240$の時)

$P_{プランA} = 6000$ ($x \le 240$の時)

$P_{プランC} = 5x+4500 \le 6000$より

$5x \le 1500$

$x \le 300$

$P_{プランC} = 5x+4500 \le 10x+3600$

$900 \le 5x$

$180 \le x$

条件1,2をともに満たす$x$の範囲は、$186.67 \le x \le 300$

3. 最終的な答え

(1) $x = 340$

(2) $x = 215, 430$

(3) 条件1を満たす$x$の値の範囲: $186.67 \le x \le 300$

条件1,条件2をともに満たす$x$の値の範囲: $186.67 \le x \le 300$