与えられた行列 $A$ が正則となるための $a, b$ の条件を求め、そのときの $A$ の逆行列を求める問題です。行列は以下の3つです。 (1) $A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 2 & a \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ (3) $A = \begin{pmatrix} 2-a & 3 \\ 4 & 1-a \end{pmatrix}$

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ が正則となるための $a, b$ の条件を求め、そのときの $A$ の逆行列を求める問題です。行列は以下の3つです。

(1) $A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 2 & a \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} 2-a & 3 \\ 4 & 1-a \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ が正則であるための条件は、その行列式 $\det(A)$ が 0 でないことです。$\det(A) \neq 0$ となる $a, b$ の条件を求め、逆行列 $A^{-1}$ を計算します。

(1) $A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 2 & a \end{pmatrix}$

$\det(A) = 4a - 8 \cdot 2 = 4a - 16$

$A$ が正則であるための条件は、$\det(A) \neq 0$ なので、

$4a - 16 \neq 0 \implies a \neq 4$

逆行列は、

$A^{-1} = \frac{1}{4a-16} \begin{pmatrix} a & -8 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$

$\det(A) = a^2 - (-b)b = a^2 + b^2$

$A$ が正則であるための条件は、$\det(A) \neq 0$ なので、

$a^2 + b^2 \neq 0 \implies (a, b) \neq (0, 0)$

逆行列は、

$A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} 2-a & 3 \\ 4 & 1-a \end{pmatrix}$

$\det(A) = (2-a)(1-a) - 3 \cdot 4 = 2 - 2a - a + a^2 - 12 = a^2 - 3a - 10$

$A$ が正則であるための条件は、$\det(A) \neq 0$ なので、

$a^2 - 3a - 10 \neq 0 \implies (a-5)(a+2) \neq 0 \implies a \neq 5, a \neq -2$

逆行列は、

$A^{-1} = \frac{1}{a^2-3a-10} \begin{pmatrix} 1-a & -3 \\ -4 & 2-a \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

正則条件: $a \neq 4$

逆行列: $A^{-1} = \frac{1}{4a-16} \begin{pmatrix} a & -8 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

(2)

正則条件: $(a, b) \neq (0, 0)$

逆行列: $A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$

(3)

正則条件: $a \neq 5, a \neq -2$

逆行列: $A^{-1} = \frac{1}{a^2-3a-10} \begin{pmatrix} 1-a & -3 \\ -4 & 2-a \end{pmatrix}$