与えられた分数の分母を有理化し、式を簡単にしてください。与えられた式は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、式を簡単にしてください。与えられた式は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役である $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$

分子を展開します。

$(\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3}) = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 - 2\sqrt{18} + 3 = 9 - 2\sqrt{9 \cdot 2} = 9 - 2(3\sqrt{2}) = 9 - 6\sqrt{2}$.

分母を展開します。

$(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$.

したがって、

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{9 - 6\sqrt{2}}{3} = \frac{3(3 - 2\sqrt{2})}{3} = 3 - 2\sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

$3 - 2\sqrt{2}$