問題文には、方程式 $\log_{2x}(x^2-2) \cdot \log_{3x-2}(2x) = 1$ の解を求める問題が出されています。太郎さんは、この問題を解くために、簡単な場合として $p, q, r$ を用いて $\log_p q \cdot \log_r p = 1$ を満たすときの $p, q, r$ の関係について考えることを提案しています。そして、(1)では、太郎さんの発言にある $p, q, r$ の関係を表す式として最も適切なものを選択肢から選ぶ問題が出されています。

1. 問題の内容

問題文には、方程式 $\log_{2x}(x^2-2) \cdot \log_{3x-2}(2x) = 1$ の解を求める問題が出されています。太郎さんは、この問題を解くために、簡単な場合として $p, q, r$ を用いて $\log_p q \cdot \log_r p = 1$ を満たすときの $p, q, r$ の関係について考えることを提案しています。そして、(1)では、太郎さんの発言にある $p, q, r$ の関係を表す式として最も適切なものを選択肢から選ぶ問題が出されています。

2. 解き方の手順

$\log_p q \cdot \log_r p = 1$ という式を変形することを考えます。対数の底の変換公式を用いると、以下のようになります。

$\log_p q = \frac{\log_r q}{\log_r p}$

これを元の式に代入すると、

$\frac{\log_r q}{\log_r p} \cdot \log_r p = 1$

$\log_r q = 1$

対数の定義より、$q = r^1$。つまり、$q = r$ となります。

3. 最終的な答え

したがって、最も適切なものは② $q = r$ です。