$a$ を1ではない正の実数とする。$y = a^x$ と $y = \log_a x$ の二つのグラフの位置関係について、以下の選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。 * 0: $a$の値にかかわらず二つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称である。 * 1: $a>1$ のとき二つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称であるが、$0<a<1$ のとき二つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称とはいえない。 * 2: $0<a<1$ のとき二つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称であるが、$a>1$ のとき二つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称とはいえない。

1. 問題の内容

$a$ を1ではない正の実数とする。$y = a^x$ と $y = \log_a x$ の二つのグラフの位置関係について、以下の選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

* 0: $a$の値にかかわらず二つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称である。

* 1: $a>1$ のとき二つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称であるが、$0<a<1$ のとき二つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称とはいえない。

* 2: $0<a<1$ のとき二つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称であるが、$a>1$ のとき二つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称とはいえない。

2. 解き方の手順

指数関数 $y = a^x$ と対数関数 $y = \log_a x$ は、互いに逆関数の関係にあります。逆関数のグラフは、直線 $y = x$ に関して対称であるという性質があります。

逆関数は、もとの関数の $x$ と $y$ を入れ替えることによって得られます。

$y = a^x$ について、$x$ と $y$ を入れ替えると、 $x = a^y$ となります。これを $y$ について解くと、$y = \log_a x$ となり、対数関数が得られます。

したがって、$y = a^x$ と $y = \log_a x$ のグラフは、常に直線 $y = x$ に関して対称です。$a$ の値が $1$ より大きい場合でも、$0$ より大きく $1$ より小さい場合でも同様です。

3. 最終的な答え

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