次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} + a_n = 3$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) (3) $a_1 = 2$, $2a_{n+1} = a_n + 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} + a_n = 3$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)

(3) $a_1 = 2$, $2a_{n+1} = a_n + 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)

2. 解き方の手順

(1) 階差数列を利用する。

$a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $b_n = 2^{n-1}$ となる。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 2 + \sum_{k=0}^{n-2} 2^k$

$= 2 + \frac{1 - 2^{n-1}}{1 - 2} = 2 + \frac{1 - 2^{n-1}}{-1} = 2 - 1 + 2^{n-1} = 1 + 2^{n-1}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1 + 2^{1-1} = 1 + 1 = 2$ となり、与えられた条件を満たす。

(2) 隣接3項間漸化式に帰着させる。

$a_{n+1} + a_n = 3$ より、$a_{n+2} + a_{n+1} = 3$ である。

辺々引くと、$a_{n+2} - a_n = 0$ となり、$a_{n+2} = a_n$ が得られる。

$a_1 = 1$ より、$a_3 = 1$, $a_5 = 1$, ... , $a_{2n-1} = 1$

$a_2 = 3 - a_1 = 3 - 1 = 2$ より、$a_4 = 2$, $a_6 = 2$, ... , $a_{2n} = 2$

したがって、$a_n = \begin{cases} 1 & (n: \text{奇数}) \\ 2 & (n: \text{偶数}) \end{cases}$

(3) 特性方程式を利用する。

$2a_{n+1} = a_n + 1$ より、$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2}$

特性方程式 $x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ を解くと、$x = 1$

$a_{n+1} - 1 = \frac{1}{2} (a_n - 1)$

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n$ となり、$\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$, 公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$b_n = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n = b_n + 1 = (\frac{1}{2})^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 1 + 2^{n-1}$

(2) $a_n = \begin{cases} 1 & (n: \text{奇数}) \\ 2 & (n: \text{偶数}) \end{cases}$

(3) $a_n = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$