二次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が、 (1) 異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) 異なる2つの負の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が、

(1) 異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 異なる2つの負の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの正の解を持つ条件は以下の3つである。

1. 判別式 $D > 0$

2. 軸 $x = -m > 0$

3. $x = 0$ のとき $y = 2m + 3 > 0$

1. 判別式 $D > 0$ より、

$D = (2m)^2 - 4(2m + 3) = 4m^2 - 8m - 12 > 0$

$m^2 - 2m - 3 > 0$

$(m - 3)(m + 1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 3$

2. 軸 $x = -m > 0$ より、$m < 0$

3. $x = 0$ のとき $y = 2m + 3 > 0$ より、$m > -\frac{3}{2}$

1, 2, 3 を満たす $m$ の範囲は、$-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) 異なる2つの負の解を持つ条件は以下の3つである。

1. 判別式 $D > 0$

2. 軸 $x = -m < 0$

3. $x = 0$ のとき $y = 2m + 3 > 0$

1. 判別式 $D > 0$ より、

$D = (2m)^2 - 4(2m + 3) = 4m^2 - 8m - 12 > 0$

$m^2 - 2m - 3 > 0$

$(m - 3)(m + 1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 3$

2. 軸 $x = -m < 0$ より、$m > 0$

3. $x = 0$ のとき $y = 2m + 3 > 0$ より、$m > -\frac{3}{2}$

1, 2, 3 を満たす $m$ の範囲は、$m > 3$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) $m > 3$