2次関数 $y = x^2 - (k+3)x + 3k$ のグラフがx軸から切り取る線分の長さが5であるとき、定数 $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - (k+3)x + 3k$ のグラフがx軸から切り取る線分の長さが5であるとき、定数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線とx軸との交点のx座標を求めるために、$y=0$ として2次方程式を解きます。

$x^2 - (k+3)x + 3k = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解できることに気づきます。

$(x - 3)(x - k) = 0$

よって、$x = 3$ または $x = k$ が解となります。

x軸から切り取る線分の長さは、2つの交点のx座標の差の絶対値です。

$|k - 3| = 5$

絶対値を外して2つの場合を考えます。

(i) $k - 3 = 5$ の場合

$k = 8$

(ii) $k - 3 = -5$ の場合

$k = -2$

3. 最終的な答え

$k = 8, -2$