(1) 関数 $f(x) = \frac{ax+1}{2x+b}$ の逆関数を $g(x)$ とするとき、$f(2)=9$ かつ $g(1)=-2$ を満たす定数 $a, b$ の値を求めよ。 (2) 関数 $y = \frac{3}{2} - \frac{3}{2^{x+1}}$ の逆関数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{ax+1}{2x+b}$ の逆関数を $g(x)$ とするとき、$f(2)=9$ かつ $g(1)=-2$ を満たす定数 $a, b$ の値を求めよ。

(2) 関数 $y = \frac{3}{2} - \frac{3}{2^{x+1}}$ の逆関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(2) = 9$ より、

$\frac{2a+1}{4+b} = 9$

$2a+1 = 9(4+b)$

$2a+1 = 36+9b$

$2a - 9b = 35$ ...(1)

次に、$g(1) = -2$ より、$f(-2) = 1$ であるから、

$\frac{-2a+1}{-4+b} = 1$

$-2a+1 = -4+b$

$-2a - b = -5$

$2a + b = 5$ ...(2)

(1)+(2) より、

$-8b = 40$

$b = -5$

(2) に代入して、

$2a - 5 = 5$

$2a = 10$

$a = 5$

(2)

$y = \frac{3}{2} - \frac{3}{2^{x+1}}$ より、

$\frac{3}{2^{x+1}} = \frac{3}{2} - y$

$\frac{3}{2^{x+1}} = \frac{3-2y}{2}$

$2^{x+1} = \frac{6}{3-2y}$

$x+1 = \log_2{\frac{6}{3-2y}}$

$x = \log_2{\frac{6}{3-2y}} - 1$

$x = \log_2{\frac{6}{3-2y}} - \log_2{2}$

$x = \log_2{\frac{3}{3-2y}}$

よって、逆関数は、

$y = \log_2{\frac{3}{3-2x}}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 5$, $b = -5$

(2) $y = \log_2{\frac{3}{3-2x}}$