不等式 $|x-1| \geq -2x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|x-1| \geq -2x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして解きます。

(i) $x-1 \geq 0$ すなわち $x \geq 1$ のとき

$|x-1| = x-1$ なので、不等式は $x-1 \geq -2x$ となります。

これを解くと、

$x - 1 \geq -2x$

$3x \geq 1$

$x \geq \frac{1}{3}$

$x \geq 1$ という条件のもとで $x \geq \frac{1}{3}$ が得られたので、共通範囲は $x \geq 1$となります。

(ii) $x-1 < 0$ すなわち $x < 1$ のとき

$|x-1| = -(x-1) = -x + 1$ なので、不等式は $-x + 1 \geq -2x$ となります。

これを解くと、

$-x + 1 \geq -2x$

$x \geq -1$

$x < 1$ という条件のもとで $x \geq -1$ が得られたので、共通範囲は $-1 \leq x < 1$となります。

(i), (ii) より、解は、$x \geq 1$ または $-1 \leq x < 1$ となります。

これらを合わせると、$x \geq -1$ となります。

3. 最終的な答え

$x \geq -1$