(1) $1+\sqrt{3}$ と $1-\sqrt{3}$ を解とする2次方程式を求める。 (2) $4+3i$ と $4-3i$ を解とする2次方程式を求める。 (3) 和が2、積が-1である2つの数を求める。

1. 問題の内容

(1) $1+\sqrt{3}$ と $1-\sqrt{3}$ を解とする2次方程式を求める。

(2) $4+3i$ と $4-3i$ を解とする2次方程式を求める。

(3) 和が2、積が-1である2つの数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 解が $\alpha$, $\beta$ である2次方程式は $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ と表せる。

与えられた解 $1+\sqrt{3}$ と $1-\sqrt{3}$ について、

和は $(1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3}) = 2$

積は $(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = 1 - 3 = -2$

したがって、求める2次方程式は

$x^2 - 2x - 2 = 0$

(2) 解が $\alpha$, $\beta$ である2次方程式は $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ と表せる。

与えられた解 $4+3i$ と $4-3i$ について、

和は $(4+3i) + (4-3i) = 8$

積は $(4+3i)(4-3i) = 16 - (3i)^2 = 16 - (-9) = 16+9 = 25$

したがって、求める2次方程式は

$x^2 - 8x + 25 = 0$

(3) 求める2つの数を $a, b$ とする。

和が2なので $a+b=2$

積が-1なので $ab=-1$

$b = 2-a$を$ab=-1$に代入して

$a(2-a) = -1$

$2a - a^2 = -1$

$a^2 - 2a - 1 = 0$

解の公式より

$a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$a = 1 + \sqrt{2}$ のとき $b = 2 - (1+\sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2}$

$a = 1 - \sqrt{2}$ のとき $b = 2 - (1-\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 2x - 2 = 0$

(2) $x^2 - 8x + 25 = 0$

(3) $1 + \sqrt{2}$ と $1 - \sqrt{2}$