問題４の(2)について。ベクトル $\vec{a}=(2, -6)$、$\vec{b}=(1, 2)$ に対して、$(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$ となる条件から、定数 $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題４の(2)について。ベクトル $\vec{a}=(2, -6)$、$\vec{b}=(1, 2)$ に対して、$(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$ となる条件から、定数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$であるとき、$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$が成立する。

$\vec{a}+\vec{b}$を計算する。

$\vec{a}+\vec{b} = (2, -6) + (1, 2) = (2+1, -6+2) = (3, -4)$

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$に代入する。

$(3, -4) \cdot (1, 2) = 0$

内積を計算する。

$3 \cdot 1 + (-4) \cdot 2 = 0$

$3 - 8 = 0$

$-5 = 0$

問題文に誤りがあるようです。$\vec{b} = (1, k)$として計算をやり直します。

$\vec{a}+\vec{b} = (2, -6) + (1, k) = (3, -6+k)$

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$

$(3, -6+k) \cdot (1, k) = 0$

$3 \cdot 1 + (-6+k) \cdot k = 0$

$3 - 6k + k^2 = 0$

$k^2 - 6k + 3 = 0$

解の公式を用いて、$k$を求める。

$k = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\vec{b} = (1, 2)$ のとき、解は存在しない。

$\vec{b} = (1, k)$ の場合、$k = 3 \pm \sqrt{6}$