与えられた3つの式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\log_3 \sqrt{32} + \log_9 54 - \log_{\sqrt{3}} 6$ (2) $(\log_4 9 - \log_{16} 3)(\log_9 16 - \log_3 8)$ (3) $16^{\log_2 3}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\log_3 \sqrt{32} + \log_9 54 - \log_{\sqrt{3}} 6$

(2) $(\log_4 9 - \log_{16} 3)(\log_9 16 - \log_3 8)$

(3) $16^{\log_2 3}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの対数を底を3に変換します。

$\sqrt{32} = (2^5)^{1/2} = 2^{5/2}$

$54 = 2 \cdot 3^3$

$\sqrt{3} = 3^{1/2}$

$6 = 2 \cdot 3$

$\log_3 \sqrt{32} = \log_3 2^{5/2} = \frac{5}{2} \log_3 2$

$\log_9 54 = \frac{\log_3 54}{\log_3 9} = \frac{\log_3 (2 \cdot 3^3)}{2} = \frac{\log_3 2 + 3}{2} = \frac{1}{2} \log_3 2 + \frac{3}{2}$

$\log_{\sqrt{3}} 6 = \frac{\log_3 6}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{\log_3 (2 \cdot 3)}{1/2} = 2(\log_3 2 + 1) = 2 \log_3 2 + 2$

したがって、

$\log_3 \sqrt{32} + \log_9 54 - \log_{\sqrt{3}} 6 = \frac{5}{2} \log_3 2 + \frac{1}{2} \log_3 2 + \frac{3}{2} - (2 \log_3 2 + 2) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} - 2) \log_3 2 + \frac{3}{2} - 2 = \log_3 2 - \frac{1}{2}$

$\log_3 2 - \frac{1}{2} = \log_3 2 - \log_3 \sqrt{3} = \log_3 \frac{2}{\sqrt{3}} = \log_3 \frac{2\sqrt{3}}{3}$

(2)

$\log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} = \frac{2\log_2 3}{2} = \log_2 3$

$\log_{16} 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 16} = \frac{\log_2 3}{4} = \frac{1}{4} \log_2 3$

$\log_9 16 = \frac{\log_3 16}{\log_3 9} = \frac{4\log_3 2}{2} = 2\log_3 2$

$\log_3 8 = \log_3 2^3 = 3\log_3 2$

$(\log_4 9 - \log_{16} 3)(\log_9 16 - \log_3 8) = (\log_2 3 - \frac{1}{4}\log_2 3)(2\log_3 2 - 3\log_3 2) = (\frac{3}{4}\log_2 3)(-\log_3 2) = -\frac{3}{4} (\log_2 3)(\log_3 2) = -\frac{3}{4} \cdot 1 = -\frac{3}{4}$

(3)

$16^{\log_2 3} = (2^4)^{\log_2 3} = 2^{4\log_2 3} = 2^{\log_2 3^4} = 2^{\log_2 81} = 81$

3. 最終的な答え

(1) $\log_3 2 - \frac{1}{2}$

(2) $-\frac{3}{4}$

(3) $81$