$\log_{10}2 = a$ と $\log_{10}3 = b$ が与えられているとき、以下の値を $a$ と $b$ で表す。 (1) $\log_{10}6$ (2) $\log_{10}5$

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = a$ と $\log_{10}3 = b$ が与えられているとき、以下の値を $a$ と $b$ で表す。

(1) $\log_{10}6$

(2) $\log_{10}5$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{10}6$ について

6を素因数分解すると $6 = 2 \times 3$ となる。対数の性質 $\log(xy) = \log x + \log y$ を用いると、

$\log_{10}6 = \log_{10}(2 \times 3) = \log_{10}2 + \log_{10}3$

$\log_{10}2 = a$ および $\log_{10}3 = b$ を代入すると、

$\log_{10}6 = a + b$

(2) $\log_{10}5$ について

$5 = \frac{10}{2}$ である。対数の性質 $\log(\frac{x}{y}) = \log x - \log y$ を用いると、

$\log_{10}5 = \log_{10}(\frac{10}{2}) = \log_{10}10 - \log_{10}2$

$\log_{10}10 = 1$ および $\log_{10}2 = a$ を代入すると、

$\log_{10}5 = 1 - a$

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10}6 = a+b$

(2) $\log_{10}5 = 1-a$