(1) 2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^3 + \beta^3$, $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) 2次方程式 $x^2 - 4x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、2数 $\alpha - 1, \beta - 1$ を解とする $x$ の2次方程式で $x^2$ の係数が1であるものを求めよ。

はい、承知いたしました。問題58について、以下の通り解答します。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^3 + \beta^3$, $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) 2次方程式 $x^2 - 4x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、2数 $\alpha - 1, \beta - 1$ を解とする $x$ の2次方程式で $x^2$ の係数が1であるものを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = 4$

である。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 3^2 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta) = 3(3^2 - 3 \cdot 4) = 3(9 - 12) = 3(-3) = -9$

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{1}{4}$

(2)

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha \beta = 7$

である。

2数 $\alpha - 1, \beta - 1$ を解とする2次方程式は、

$(x - (\alpha - 1))(x - (\beta - 1)) = 0$

$x^2 - (\alpha - 1 + \beta - 1)x + (\alpha - 1)(\beta - 1) = 0$

$x^2 - (\alpha + \beta - 2)x + (\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1) = 0$

$x^2 - (4 - 2)x + (7 - 4 + 1) = 0$

$x^2 - 2x + 4 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 1$

$\alpha^3 + \beta^3 = -9$

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{4}$

(2) $x^2 - 2x + 4 = 0$