与えられた3つの方程式を解く問題です。 (1) $x^3 = -8$ (2) $x^4 + 5x^2 - 24 = 0$ (3) $x^3 + 2x - 3 = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式を解く問題です。

(1) $x^3 = -8$

(2) $x^4 + 5x^2 - 24 = 0$

(3) $x^3 + 2x - 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 = -8$

$x^3 + 8 = 0$

$(x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

よって、$x+2 = 0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$

$x = -2$

$x^2 - 2x + 4 = 0$ より、解の公式を用いて

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

(2) $x^4 + 5x^2 - 24 = 0$

$x^2 = t$ とおくと、$t^2 + 5t - 24 = 0$

$(t+8)(t-3) = 0$

$t = -8, 3$

$x^2 = -8$ より $x = \pm \sqrt{-8} = \pm 2\sqrt{2}i$

$x^2 = 3$ より $x = \pm \sqrt{3}$

(3) $x^3 + 2x - 3 = 0$

$P(x) = x^3 + 2x - 3$ とおくと、$P(1) = 1 + 2 - 3 = 0$ なので、$x-1$ は $P(x)$ の因数である。

$x^3 + 2x - 3 = (x-1)(x^2 + x + 3) = 0$

$x-1 = 0$ より $x=1$

$x^2 + x + 3 = 0$ より、解の公式を用いて

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(3)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{11}i}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1 \pm \sqrt{3}i$

(2) $x = \pm \sqrt{3}, \pm 2\sqrt{2}i$

(3) $x = 1, \frac{-1 \pm \sqrt{11}i}{2}$