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与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は使用禁止です。 与えられた行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix} $

代数学線形代数行列式行基本変形上三角行列
2025/6/19

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は使用禁止です。
与えられた行列は以下の通りです。
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
2 & 9 & 2 & 3 \\
-1 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 14 & 1 & 2
\end{pmatrix}

2. 解き方の手順

行基本変形を用いて、与えられた行列を上三角行列に変形します。行基本変形は行列式を変化させますが、行の入れ替えによる符号の変化と、行を定数倍する操作による定数倍の変化に注意します。
今回は上三角行列にする過程で、行の入れ替えは行わないようにします。
(1) 2行目を「2行目 - 2 * 1行目」で置き換えます。
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
-1 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 14 & 1 & 2
\end{pmatrix}
(2) 3行目を「3行目 + 1行目」で置き換えます。
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 5 & 1 & 3 \\
3 & 14 & 1 & 2
\end{pmatrix}
(3) 4行目を「4行目 - 3 * 1行目」で置き換えます。
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 5 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 4 & 2
\end{pmatrix}
(4) 3行目を「3行目 - 5 * 2行目」で置き換えます。
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -19 & -12 \\
0 & 2 & 4 & 2
\end{pmatrix}
(5) 4行目を「4行目 - 2 * 2行目」で置き換えます。
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -19 & -12 \\
0 & 0 & -4 & -4
\end{pmatrix}
(6)4行目を「4行目 - 4/19 * 3行目」で置き換えます。
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -19 & -12 \\
0 & 0 & 0 & -28/19
\end{pmatrix}
行列式は上三角行列の対角成分の積なので、
1∗1∗(−19)∗(−28/19)=28 1 * 1 * (-19) * (-28/19) = 28

3. 最終的な答え

28

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