数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 1$ で与えられているとき、第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 1$ で与えられているとき、第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ と一般項 $a_n$ の関係は以下の通りです。

$a_1 = S_1$

$a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \geq 2)$

まず、$a_1$ を求めます。

$a_1 = S_1 = 1^2 - 1 = 0$

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n$ を求めます。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 1) - ((n-1)^2 - 1)$

$a_n = n^2 - 1 - (n^2 - 2n + 1 - 1)$

$a_n = n^2 - 1 - n^2 + 2n$

$a_n = 2n - 1 - 0 = 2n - 2$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2(1) - 2 = 0$ なので、$a_n = 2n - 2$ は $n = 1$ でも成り立ちます。

したがって、$a_n = 2n - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 2n - 2$