多項式 $P(x) = x^3 - 2ax^2 + 3ax - 4$ を $x+1$ で割った余りが $5$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

## (1)の問題

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - 2ax^2 + 3ax - 4$ を $x+1$ で割った余りが $5$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(x)$ を $x+1$ で割った余りは $P(-1)$ に等しい。

したがって、$P(-1) = 5$ となる。

$x=-1$ を $P(x)$ に代入すると、

$P(-1) = (-1)^3 - 2a(-1)^2 + 3a(-1) - 4 = -1 - 2a - 3a - 4 = -5a - 5$

$P(-1) = 5$ であるから、

$-5a - 5 = 5$

$-5a = 10$

$a = -2$

3. 最終的な答え

$a = -2$

## (2)の問題

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$ が $x-1$ で割り切れ、$x+3$ で割ると余りが $-8$ となるとき、定数 $a, b$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ が $x-1$ で割り切れるので、剰余の定理より $P(1) = 0$

$P(x)$ を $x+3$ で割った余りが $-8$ なので、剰余の定理より $P(-3) = -8$

$x=1$ を $P(x)$ に代入すると、

$P(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + a(1) + b = 1 - 3 + a + b = a + b - 2$

$P(1) = 0$ であるから、

$a + b - 2 = 0$

$a + b = 2$ ...(1)

$x=-3$ を $P(x)$ に代入すると、

$P(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 + a(-3) + b = -27 - 27 - 3a + b = -3a + b - 54$

$P(-3) = -8$ であるから、

$-3a + b - 54 = -8$

$-3a + b = 46$ ...(2)

(1)式と(2)式から連立方程式を解く。

(2) - (1) より、

$(-3a + b) - (a + b) = 46 - 2$

$-4a = 44$

$a = -11$

$a = -11$ を(1)式に代入すると、

$-11 + b = 2$

$b = 13$

3. 最終的な答え

$a = -11, b = 13$