(1) 2次方程式 $x^2 - 6x + k = 0$ が異なる2つの実数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) 2次方程式 $x^2 - kx + k + 3 = 0$ が重解をもつような定数 $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - 6x + k = 0$ が異なる2つの実数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) 2次方程式 $x^2 - kx + k + 3 = 0$ が重解をもつような定数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ である。

与えられた2次方程式 $x^2 - 6x + k = 0$ において、$a = 1$, $b = -6$, $c = k$ である。

判別式 $D = (-6)^2 - 4(1)(k) = 36 - 4k$

異なる2つの実数解を持つ条件は $36 - 4k > 0$

$36 > 4k$

$k < 9$

(2)

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ である。

与えられた2次方程式 $x^2 - kx + k + 3 = 0$ において、$a = 1$, $b = -k$, $c = k + 3$ である。

判別式 $D = (-k)^2 - 4(1)(k + 3) = k^2 - 4k - 12$

重解を持つ条件は $k^2 - 4k - 12 = 0$

$(k - 6)(k + 2) = 0$

$k = 6$ または $k = -2$

3. 最終的な答え

(1) $k < 9$

(2) $k = 6, -2$