与えられた3つの方程式を解く問題です。 (1) $x^3 = -8$ (2) $x^4 + 5x^2 - 24 = 0$ (3) $x^3 + 2x - 3 = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式を解く問題です。

(1) $x^3 = -8$

(2) $x^4 + 5x^2 - 24 = 0$

(3) $x^3 + 2x - 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 = -8$ は $x^3 + 8 = 0$ と変形できます。

これは $(x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$ と因数分解できます。

したがって、$x+2 = 0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$ です。

$x+2 = 0$ より、$x = -2$ です。

$x^2 - 2x + 4 = 0$ の解は、解の公式を用いて求められます。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$

(2)

$x^4 + 5x^2 - 24 = 0$ は、$y = x^2$ とおくと、$y^2 + 5y - 24 = 0$ となります。

$(y+8)(y-3) = 0$ と因数分解できます。

したがって、$y = -8$ または $y = 3$ です。

$x^2 = -8$ より、$x = \pm \sqrt{-8} = \pm 2i\sqrt{2}$ です。

$x^2 = 3$ より、$x = \pm \sqrt{3}$ です。

(3)

$x^3 + 2x - 3 = 0$

$x = 1$ を代入すると、$1^3 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ となり、$x = 1$ は解の一つです。

したがって、$x - 1$ は因数です。

$x^3 + 2x - 3$ を $x - 1$ で割ると、$x^2 + x + 3$ となります。

$x^3 + 2x - 3 = (x - 1)(x^2 + x + 3) = 0$

$x - 1 = 0$ より、$x = 1$ です。

$x^2 + x + 3 = 0$ の解は、解の公式を用いて求められます。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$

(2) $x = \pm \sqrt{3}, \pm 2i\sqrt{2}$

(3) $x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$