与えられた分数式 $\frac{1}{x^3 - 1}$ を部分分数に分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{1}{x^3 - 1}$ を部分分数に分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

したがって、

$\frac{1}{x^3 - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$

部分分数分解の形を仮定します。

$\frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}$

両辺に $(x - 1)(x^2 + x + 1)$ を掛けると、

$1 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1)$

$1 = Ax^2 + Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx - C$

$1 = (A + B)x^2 + (A - B + C)x + (A - C)$

係数を比較します。

$x^2$の係数: $A + B = 0$

$x$の係数: $A - B + C = 0$

定数項: $A - C = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$A + B = 0$ より $B = -A$

$A - B + C = 0$ に $B = -A$ を代入すると、$2A + C = 0$

$A - C = 1$

$2A + C = 0$ と $A - C = 1$ を足し合わせると、$3A = 1$

したがって、$A = \frac{1}{3}$

$B = -A$ より $B = -\frac{1}{3}$

$A - C = 1$ より $C = A - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$

したがって、$A = \frac{1}{3}$, $B = -\frac{1}{3}$, $C = -\frac{2}{3}$ となります。

部分分数分解の形に代入すると、

$\frac{1}{x^3 - 1} = \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{-\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}}{x^2 + x + 1}$

$= \frac{1}{3(x - 1)} - \frac{x + 2}{3(x^2 + x + 1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3(x-1)} - \frac{x+2}{3(x^2+x+1)}$