2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

異なる2つの正の解を持つための条件は、以下の3つである。

* 判別式 $D > 0$

* 軸の位置 $> 0$

* $x = 0$ のときの $y$ の値 $> 0$

まず、判別式 $D$ を計算する。

$D = (2m)^2 - 4(2m + 3) = 4m^2 - 8m - 12$

$D > 0$ より、

$4m^2 - 8m - 12 > 0$

$m^2 - 2m - 3 > 0$

$(m - 3)(m + 1) > 0$

したがって、$m < -1$ または $m > 3$

次に、軸の位置を確認する。

$x^2 + 2mx + 2m + 3 = (x + m)^2 - m^2 + 2m + 3$

軸は $x = -m$ なので、$-m > 0$ より、$m < 0$

最後に、$x = 0$ のときの $y$ の値を計算する。

$f(x) = x^2 + 2mx + 2m + 3$ とすると、$f(0) = 2m + 3$

$f(0) > 0$ より、$2m + 3 > 0$

$2m > -3$

$m > -\frac{3}{2}$

上記3つの条件を満たす $m$ の範囲を求める。

$m < -1$ または $m > 3$

$m < 0$

$m > -\frac{3}{2}$

数直線を書いて考えると、$-\frac{3}{2} < m < -1$ となる。

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2} < m < -1$