2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 6$ が与えられている。 (1) $a = 7$ のとき、$f(x) < 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。 (2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 6$ が与えられている。

(1) $a = 7$ のとき、$f(x) < 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = 7$ のとき、$f(x) = x^2 - 14x + 13$ となる。

$f(x) < 0$ を満たす $x$ の範囲を求めるには、まず $f(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$x^2 - 14x + 13 = 0$ を解くと、

$(x - 1)(x - 13) = 0$ より、$x = 1, 13$ である。

したがって、$f(x) < 0$ を満たす $x$ の範囲は $1 < x < 13$ である。

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持つ条件は、$f(x) = 0$ が実数解を持つことである。

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D \geq 0$ であればよい。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a + 6) = 4a^2 - 4a - 24$

$4a^2 - 4a - 24 \geq 0$

$a^2 - a - 6 \geq 0$

$(a - 3)(a + 2) \geq 0$

したがって、$a \leq -2$ または $a \geq 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $1 < x < 13$

(2) $a \leq -2$ または $a \geq 3$