問題は2つの部分から構成されています。 (1) 不等式 $a^2(-x+6a) + x(x-5) \geq 6a(x-5)$ を解く問題です。(ただし、(1)の問題は解く必要はありません) (2) 2次不等式 $6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0$ を満たす整数 $x$ が10個となるような正の整数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) 不等式 $a^2(-x+6a) + x(x-5) \geq 6a(x-5)$ を解く問題です。(ただし、(1)の問題は解く必要はありません)

(2) 2次不等式 $6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0$ を満たす整数 $x$ が10個となるような正の整数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(2)について解いていきます。

まず、2次不等式を解きます。

$6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0$ を因数分解します。

$6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) = (2x - (5a+2))(3x - (2a+1))$

したがって、不等式は

$(2x - (5a+2))(3x - (2a+1)) < 0$

となります。

この不等式を解くために、まず $2x - (5a+2) = 0$ と $3x - (2a+1) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x = \frac{5a+2}{2}$ と $x = \frac{2a+1}{3}$ です。

$a$ は正の整数なので、$\frac{5a+2}{2} > \frac{2a+1}{3}$ が成り立ちます。

なぜなら、

$3(5a+2) - 2(2a+1) = 15a+6 - 4a - 2 = 11a+4 > 0$

だからです。

したがって、不等式の解は

$\frac{2a+1}{3} < x < \frac{5a+2}{2}$

となります。

この範囲に含まれる整数 $x$ が10個になるような正の整数 $a$ を求めます。

$\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3}$ は整数とは限りません。したがって、不等式を満たす整数の個数を直接計算するのは難しいです。

$x$ が整数である個数が10個であることから、

$\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3}$ はほぼ10に近い値をとるはずです。

より正確には、 $9 < \frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3} \leq 10$ でなければなりません。

$\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3} = \frac{15a+6-4a-2}{6} = \frac{11a+4}{6}$

よって、$9 < \frac{11a+4}{6} \leq 10$

$54 < 11a+4 \leq 60$

$50 < 11a \leq 56$

$\frac{50}{11} < a \leq \frac{56}{11}$

$4.54... < a \leq 5.09...$

これを満たす整数 $a$ は $a=5$ のみです。

$a=5$ のとき、$\frac{2a+1}{3} = \frac{11}{3} = 3.66...$

$\frac{5a+2}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$

したがって、$3.66... < x < 13.5$ を満たす整数 $x$ は、4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 の10個です。

3. 最終的な答え

$a = 5$