次の2次方程式が重解を持つように、実数の定数 $k$ , $m$ の値を定め、そのときの重解を求める。 (1) $x^2 + 2(k+2)x + 9k = 0$ (2) $m(x-1)(x-2) = x^2$ ($m \neq 1$)

1. 問題の内容

次の2次方程式が重解を持つように、実数の定数 $k$ , $m$ の値を定め、そのときの重解を求める。

(1) $x^2 + 2(k+2)x + 9k = 0$

(2) $m(x-1)(x-2) = x^2$ ($m \neq 1$)

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 + 2(k+2)x + 9k = 0$ が重解を持つためには、判別式 $D = 0$ である必要がある。

$D/4 = (k+2)^2 - 9k = 0$

$k^2 + 4k + 4 - 9k = 0$

$k^2 - 5k + 4 = 0$

$(k-1)(k-4) = 0$

$k = 1$ または $k = 4$

$k = 1$ のとき、$x^2 + 6x + 9 = 0$ より $(x+3)^2 = 0$ なので $x = -3$ (重解)。

$k = 4$ のとき、$x^2 + 12x + 36 = 0$ より $(x+6)^2 = 0$ なので $x = -6$ (重解)。

(2) 方程式 $m(x-1)(x-2) = x^2$ を整理する。

$m(x^2 - 3x + 2) = x^2$

$mx^2 - 3mx + 2m = x^2$

$(m-1)x^2 - 3mx + 2m = 0$

$m \neq 1$ より、これは2次方程式である。

重解を持つためには、判別式 $D = 0$ である必要がある。

$D = (-3m)^2 - 4(m-1)(2m) = 0$

$9m^2 - 8m(m-1) = 0$

$9m^2 - 8m^2 + 8m = 0$

$m^2 + 8m = 0$

$m(m+8) = 0$

$m = 0$ または $m = -8$

($m \neq 1$ より、どちらも条件を満たす)

$m = 0$ のとき、 $x^2 = 0$ となり、$x = 0$ (重解)。

$m = -8$ のとき、 $-9x^2 + 24x - 16 = 0$ より $9x^2 - 24x + 16 = 0$

$(3x - 4)^2 = 0$ なので、$x = \frac{4}{3}$ (重解)。

3. 最終的な答え

(1) $k = 1$ のとき、重解 $x = -3$

$k = 4$ のとき、重解 $x = -6$

(2) $m = 0$ のとき、重解 $x = 0$

$m = -8$ のとき、重解 $x = \frac{4}{3}$