2次方程式 $3x^2 - x + 6 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $(\alpha - \beta)^2$ (3) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - x + 6 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を求める。

与えられた2次方程式は $3x^2 - x + 6 = 0$ なので、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{1}{3}$

$\alpha\beta = \frac{6}{3} = 2$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2(2)$

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{1}{9} - 4 = \frac{1 - 36}{9} = -\frac{35}{9}$

(2) $(\alpha - \beta)^2$ を求める。

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha^2 + \beta^2) - 2\alpha\beta$

(1)より $\alpha^2 + \beta^2 = -\frac{35}{9}$ なので、

$(\alpha - \beta)^2 = -\frac{35}{9} - 2(2)$

$(\alpha - \beta)^2 = -\frac{35}{9} - 4 = -\frac{35}{9} - \frac{36}{9} = -\frac{71}{9}$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$ を求める。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = \left(\frac{1}{3}\right)\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 3(2)\right) = \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{9} - 6\right) = \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1 - 54}{9}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{53}{9}\right) = -\frac{53}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -\frac{35}{9}$

(2) $(\alpha - \beta)^2 = -\frac{71}{9}$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{53}{27}$