次の連立方程式を解きます。 $\begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = \frac{1}{5} \\ 5x - 4y = 24 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立方程式を解きます。

$\begin{cases}

\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = \frac{1}{5} \\

5x - 4y = 24

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の式を簡単にするために、両辺に30を掛けます。

$30 \cdot (\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y) = 30 \cdot \frac{1}{5}$

$15x + 10y = 6$

これで、連立方程式は次のようになります。

$\begin{cases}

15x + 10y = 6 \\

5x - 4y = 24

\end{cases}$

二つ目の式を3倍して、xの係数を一つ目の式と同じにします。

$3(5x - 4y) = 3 \cdot 24$

$15x - 12y = 72$

これで、連立方程式は次のようになります。

$\begin{cases}

15x + 10y = 6 \\

15x - 12y = 72

\end{cases}$

一つ目の式から二つ目の式を引きます。

$(15x + 10y) - (15x - 12y) = 6 - 72$

$15x + 10y - 15x + 12y = -66$

$22y = -66$

$y = -3$

この値を二つ目の式 $5x - 4y = 24$ に代入します。

$5x - 4(-3) = 24$

$5x + 12 = 24$

$5x = 12$

$x = \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{12}{5}, y = -3$