$a < -1$, $b < 1$ のとき、$ab > a - b + 1$ を証明する。

1. 問題の内容

$a < -1$, $b < 1$ のとき、$ab > a - b + 1$ を証明する。

2. 解き方の手順

証明すべき不等式の両辺の差を考える。

$ab - (a - b + 1) = ab - a + b - 1$

この式を因数分解する。

$ab - a + b - 1 = a(b - 1) + (b - 1) = (a + 1)(b - 1)$

ここで、$a < -1$ より、$a + 1 < 0$ である。

また、$b < 1$ より、$b - 1 < 0$ である。

したがって、$(a + 1)(b - 1) > 0$ である。

よって、$ab - a + b - 1 > 0$

すなわち、$ab > a - b + 1$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$ab > a - b + 1$ が証明された。