$x, y$ が実数であるとき、不等式 $x^2 + y^2 \ge xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$x, y$ が実数であるとき、不等式 $x^2 + y^2 \ge xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

不等式の証明は、通常、左辺から右辺を引いたものが0以上であることを示すことで行います。

$x^2 + y^2 \ge xy$ を証明するために、$x^2 + y^2 - xy \ge 0$ を示すことを目指します。

まず、式変形を行います。

$x^2 + y^2 - xy = x^2 - xy + y^2 = x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2 + y^2 - \frac{1}{4}y^2 = (x-\frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}y^2$

ここで、$(x-\frac{1}{2}y)^2$ は実数の2乗なので、必ず0以上です。

また、$\frac{3}{4}y^2$ も実数の2乗に定数をかけたものなので、必ず0以上です。

したがって、

$(x-\frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}y^2 \ge 0$

これで、$x^2 + y^2 \ge xy$ が証明できました。

次に、等号が成り立つ条件を求めます。

等号が成り立つのは、

$(x-\frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}y^2 = 0$

となるときです。実数の2乗は0以上なので、2つの項がともに0になる必要があります。

つまり、$x-\frac{1}{2}y=0$ かつ $y=0$ でなければなりません。

$y=0$ のとき、$x-\frac{1}{2}(0)=0$ より、$x=0$ となります。

したがって、等号が成り立つのは、$x=0$ かつ $y=0$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $x^2 + y^2 \ge xy$ は証明された。

等号が成り立つのは、$x=0$ かつ $y=0$ のとき。