与えられた方程式は絶対値を含む方程式 $\vert x-3 \vert = 4x$ です。この方程式を満たす $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式は絶対値を含む方程式 $\vert x-3 \vert = 4x$ です。この方程式を満たす $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式を解くには、絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合分けを行います。

(i) $x-3 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq 3$ のとき

$\vert x-3 \vert = x-3$ となるので、方程式は $x-3 = 4x$ となります。これを解くと、

$x - 3 = 4x$

$-3 = 3x$

$x = -1$

しかし、$x \geq 3$ である必要があるため、$x = -1$ は解として不適です。

(ii) $x-3 < 0$ のとき、つまり $x < 3$ のとき

$\vert x-3 \vert = -(x-3) = -x+3$ となるので、方程式は $-x+3 = 4x$ となります。これを解くと、

$-x+3 = 4x$

$3 = 5x$

$x = \frac{3}{5}$

このとき、$x = \frac{3}{5} < 3$ であるため、$x = \frac{3}{5}$ は解として適します。

さらに、$4x$は絶対値の結果なので、$4x\ge 0$でなければならない。つまり、$x \ge 0$である。

(i)のとき、$x=-1$となり、$x\ge 0$を満たさないので解ではない。

(ii)のとき、$x=\frac{3}{5}$となり、$x\ge 0$を満たす。

したがって、方程式 $\vert x-3 \vert = 4x$ の解は $x = \frac{3}{5}$ のみです。

3. 最終的な答え

$x = \frac{3}{5}$