$a$ が正の数であるとき、不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

## 56 (1)の問題

1. 問題の内容

$a$ が正の数であるとき、不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を使います。$a>0$ より、$\frac{a}{4} > 0$ かつ $\frac{9}{a} > 0$ なので、相加平均・相乗平均の関係より、

$$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a}{4} \cdot \frac{9}{a}}$$

$$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 2\sqrt{\frac{9}{4}}$$

$$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 2 \cdot \frac{3}{2}$$

$$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$$

よって、$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ が証明されました。

等号が成り立つのは、相加平均と相乗平均が等しくなるとき、すなわち $\frac{a}{4} = \frac{9}{a}$ のときです。

$$\frac{a}{4} = \frac{9}{a}$$

$$a^2 = 36$$

$a>0$ より、

$$a = 6$$

したがって、$a=6$ のときに等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ が証明されました。等号が成り立つのは、$a=6$ のときです。