画像に掲載されている数学の問題のうち、以下の問題を解きます。 **1** 第4項が14, 第8項が30である等差数列がある。次の数は、この数列の項であるかどうかを調べよ。また、項であるときは第何項かを求めよ。 (1) 70 (2) 123 **2** 初項が60, 末項が-30である等差数列の和が240であるとき、この数列の公差と項数を求めよ。 **3** 1日目に1円、2日目に2円、3日目に4円、4日目に8円、...というように、2日目以降は前日の2倍の金額を毎日貯金するとき、15日間での貯金の総額を求めよ。 **4** 初項が正の数である等比数列 $\{a_n\}$ の、第2項と第4項の和が20で、第4項と第6項の和が80であるとき、次のものを求めよ。 (1) 初項と公比 (2) 初項から第10項までの和 **5** 次の数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表せ。また、この数列の和を求めよ。 1, 1+3, 1+3+5, ..., 1+3+5+...+(2n-1) **6** 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ がある。 $a_1 = 1, \quad na_{n+1} = 2(n+1)a_n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$ (1) $b_n = \frac{a_n}{n}$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 **7** すべての自然数 $n$ について、$7^n - 1$ は6の倍数である。このことを、数学的帰納法を用いて証明せよ。

1. 問題の内容

画像に掲載されている数学の問題のうち、以下の問題を解きます。

**1** 第4項が14, 第8項が30である等差数列がある。次の数は、この数列の項であるかどうかを調べよ。また、項であるときは第何項かを求めよ。

(1) 70

(2) 123

**2** 初項が60, 末項が-30である等差数列の和が240であるとき、この数列の公差と項数を求めよ。

**3** 1日目に1円、2日目に2円、3日目に4円、4日目に8円、...というように、2日目以降は前日の2倍の金額を毎日貯金するとき、15日間での貯金の総額を求めよ。

**4** 初項が正の数である等比数列 $\{a_n\}$ の、第2項と第4項の和が20で、第4項と第6項の和が80であるとき、次のものを求めよ。

(1) 初項と公比

(2) 初項から第10項までの和

**5** 次の数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表せ。また、この数列の和を求めよ。

1, 1+3, 1+3+5, ..., 1+3+5+...+(2n-1)

**6** 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ がある。

$a_1 = 1, \quad na_{n+1} = 2(n+1)a_n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

(1) $b_n = \frac{a_n}{n}$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

**7** すべての自然数 $n$ について、$7^n - 1$ は6の倍数である。このことを、数学的帰納法を用いて証明せよ。

2. 解き方の手順

**1** 等差数列の問題

(1) 初項を $a$, 公差を $d$ とすると、

第4項は $a + 3d = 14$

第8項は $a + 7d = 30$

これらの連立方程式を解くと、

$4d = 16$ より $d = 4$

$a + 3(4) = 14$ より $a = 2$

したがって、一般項は $a_n = 2 + (n-1)4 = 4n - 2$

70が項であるか確認：

$4n - 2 = 70$

$4n = 72$

$n = 18$

したがって、70は第18項である。

123が項であるか確認：

$4n - 2 = 123$

$4n = 125$

$n = \frac{125}{4} = 31.25$

$n$ が整数ではないので、123は項ではない。

(2) (上記と同じ)

**2** 等差数列の和の問題

初項を $a = 60$, 末項を $l = -30$, 項数を $n$, 公差を $d$ とする。

和 $S = 240$ である。

$S = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{n}{2}(60 - 30) = 15n$

$15n = 240$ より $n = 16$

また、$l = a + (n-1)d$ より $-30 = 60 + (16-1)d$

$-90 = 15d$ より $d = -6$

**3** 貯金の総額の問題

1日目から15日目までの貯金額は、初項1, 公比2の等比数列の和である。

$S = \frac{1(2^{15}-1)}{2-1} = 2^{15} - 1 = 32768 - 1 = 32767$

**4** 等比数列の問題

初項を $a$, 公比を $r$ とする。

第2項と第4項の和は $ar + ar^3 = ar(1 + r^2) = 20$

第4項と第6項の和は $ar^3 + ar^5 = ar^3(1 + r^2) = 80$

$\frac{ar^3(1 + r^2)}{ar(1 + r^2)} = \frac{80}{20}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

$ar(1 + r^2) = 20$

$a(\pm 2)(1 + 4) = 20$

$\pm 10a = 20$

$a = \pm 2$

初項が正の数であるから $a = 2, r = 2$.

(1) 初項は2, 公比は2

(2) 初項から第10項までの和は

$S_{10} = \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2(1024 - 1) = 2(1023) = 2046$

**5** 数列の問題

第 $k$ 項は $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1)$ である。これは初項1, 公差2の等差数列の和である。

$S_k = \frac{k}{2}[2(1) + (k-1)2] = \frac{k}{2}(2 + 2k - 2) = \frac{k}{2}(2k) = k^2$

第 $k$ 項は $k^2$ である。

数列の和を $T_n$ とすると、

$T_n = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

**6** 数列の問題

$a_1 = 1, na_{n+1} = 2(n+1)a_n$

(1) $b_n = \frac{a_n}{n}$ とする。

$\frac{a_{n+1}}{n+1} = b_{n+1}$

$\frac{n a_{n+1}}{n(n+1)} = \frac{2(n+1)a_n}{n(n+1)}$

$n b_{n+1} = 2 a_n$

$b_{n+1} = \frac{2 a_n}{n} = 2 b_n$

これは初項 $b_1 = \frac{a_1}{1} = 1$, 公比2の等比数列である。

$b_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$

(2) $a_n = n b_n = n 2^{n-1}$

**7** 数学的帰納法の問題

(1) $n = 1$ のとき、$7^1 - 1 = 6$ は6の倍数である。

(2) $n = k$ のとき、$7^k - 1$ が6の倍数であると仮定する。つまり、$7^k - 1 = 6m$ ($m$ は整数) とおく。

$n = k+1$ のとき、$7^{k+1} - 1 = 7(7^k) - 1 = 7(6m + 1) - 1 = 42m + 7 - 1 = 42m + 6 = 6(7m + 1)$

$7m + 1$ は整数であるから、$7^{k+1} - 1$ は6の倍数である。

したがって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について、$7^n - 1$ は6の倍数である。

3. 最終的な答え

**1**

(1) 70は第18項である。

(2) 123は項ではない。

**2**

公差: -6

項数: 16

**3**

32767円

**4**

(1) 初項: 2, 公比: 2

(2) 2046

**5**

第 $k$ 項: $k^2$

数列の和: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

**6**

(1) $b_n = 2^{n-1}$

(2) $a_n = n2^{n-1}$

**7**

証明完了