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与えられた3つの行列のランクをそれぞれ求めます。

代数学線形代数行列ランク行列式行基本変形
2025/6/19

1. 問題の内容

与えられた3つの行列のランクをそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 (212012101)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} のランクを求めます。
まず、行列式を計算します。
2(1⋅1−2⋅0)−1(0⋅1−2⋅1)+2(0⋅0−1⋅1)=2(1)−1(−2)+2(−1)=2+2−2=22(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) - 1(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + 2(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 2(1) - 1(-2) + 2(-1) = 2 + 2 - 2 = 2
行列式が0でないので、ランクは3です。
(2) 行列 (2−310015−41−13−22−5−98)\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix} のランクを求めます。
行基本変形を用いて簡約化します。
まず、1行目と3行目を入れ替えます。
(1−13−2015−42−3102−5−98)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}
次に、3行目から1行目の2倍を引きます。4行目から1行目の2倍を引きます。
(1−13−2015−40−1−540−3−1512)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ 0 & -3 & -15 & 12 \end{pmatrix}
次に、3行目に2行目を足します。4行目に2行目の3倍を足します。
(1−13−2015−400000000)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
最後に、1行目に2行目を足します。
(108−6015−400000000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 8 & -6 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
線形独立な行は2つなので、ランクは2です。
(3) 行列 (12315−31−19262)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix} のランクを求めます。
行基本変形を用いて簡約化します。
2行目から1行目を引きます。3行目から1行目を引きます。4行目から1行目の2倍を引きます。
(12303−60−3602−4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}
次に、3行目に2行目を足します。
(12303−600002−4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}
4行目を3/2倍します。
(12303−600003−6)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -6 \end{pmatrix}
4行目から2行目を引きます。
(12303−6000000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
線形独立な行は2つなので、ランクは2です。

3. 最終的な答え

(1) 3
(2) 2
(3) 2

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