(1) $(2x-3)^3$ を展開せよ。 (2) $8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

(1) $(2x-3)^3$ を展開せよ。

(2) $8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) $(2x-3)^3$ を展開するには、二項定理を使うか、$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の公式を使います。ここでは公式を使います。

$a = 2x$, $b = 3$ を代入すると、

$(2x-3)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(3) + 3(2x)(3)^2 - (3)^3$

$= 8x^3 - 3(4x^2)(3) + 3(2x)(9) - 27$

$= 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$

(2) $8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ を因数分解します。

これは $(ax+b)^3$ の形になることを予想し、$(a x + b)^3 = a^3x^3 + 3a^2bx^2 + 3ab^2x + b^3$ と比較します。

$8x^3 = (2x)^3$, $1 = 1^3$ より、$a = 2$ かつ $b = 1$ であると考えられます。

そこで $(2x+1)^3$ を展開してみると、

$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + (1)^3$

$= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

となり、与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

(1) $(2x-3)^3 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$

(2) $8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 = (2x+1)^3$