$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $2+i$ を解にもつとき、以下の問いに答えよ。 (ア) $\alpha = 2+i$ とおくと、方程式が実数係数であることから、$\alpha$ が解ならば $\bar{\alpha}$ も解である。 (イ) $g(x) = (x-\alpha)(x-\bar{\alpha})$ とおくと、$g(x) = x^2 - (\text{イ})x + (\text{ウ})$ となる。 (ウ) (*) の左辺を $g(x)$ で割ると、$x^3 + ax^2 + bx + 10 = g(x)\{x+(\text{エ})\} + (\text{オ})x + (\text{カ})$ となる。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $2+i$ を解にもつとき、以下の問いに答えよ。

(ア) $\alpha = 2+i$ とおくと、方程式が実数係数であることから、$\alpha$ が解ならば $\bar{\alpha}$ も解である。

(イ) $g(x) = (x-\alpha)(x-\bar{\alpha})$ とおくと、$g(x) = x^2 - (\text{イ})x + (\text{ウ})$ となる。

(ウ) (*) の左辺を $g(x)$ で割ると、$x^3 + ax^2 + bx + 10 = g(x)\{x+(\text{エ})\} + (\text{オ})x + (\text{カ})$ となる。

2. 解き方の手順

(ア) $\alpha = 2+i$ とすると、$\bar{\alpha} = 2-i$ です。したがって、$\bar{\alpha} = 2-i$ も解です。

(イ) $g(x) = (x - \alpha)(x - \bar{\alpha}) = (x - (2+i))(x - (2-i))$ を計算します。

$g(x) = x^2 - (2-i)x - (2+i)x + (2+i)(2-i) = x^2 - (2-i+2+i)x + (4 - i^2) = x^2 - 4x + (4 - (-1)) = x^2 - 4x + 5$

よって、イは4、ウは5です。

(ウ) $x^3 + ax^2 + bx + 10$ を $g(x) = x^2 - 4x + 5$ で割ったときの商と余りを求めます。

商を $x+c$ とおくと、

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = (x^2 - 4x + 5)(x+c) + dx + e$

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = x^3 + cx^2 - 4x^2 - 4cx + 5x + 5c + dx + e$

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = x^3 + (c-4)x^2 + (5 - 4c + d)x + (5c+e)$

係数を比較すると、

$a = c-4$

$b = 5 - 4c + d$

$10 = 5c+e$

ここで、 $x=2+i$ をもとの3次方程式に代入すると、

$(2+i)^3 + a(2+i)^2 + b(2+i) + 10 = 0$

$8 + 12i + 6i^2 + i^3 + a(4 + 4i + i^2) + b(2+i) + 10 = 0$

$8 + 12i - 6 - i + a(4 + 4i - 1) + b(2+i) + 10 = 0$

$2 + 11i + a(3+4i) + b(2+i) + 10 = 0$

$(2+3a+2b+10) + (11+4a+b)i = 0$

実部と虚部がともに0であるから、

$3a+2b+12 = 0$

$4a+b+11 = 0$

$b = -4a-11$ を $3a+2b+12 = 0$ に代入すると、

$3a + 2(-4a-11) + 12 = 0$

$3a - 8a - 22 + 12 = 0$

$-5a = 10$

$a = -2$

$b = -4(-2) - 11 = 8 - 11 = -3$

$a = c-4$ より、$-2 = c-4$ から $c=2$

$b = 5-4c+d$ より、$-3 = 5 - 4(2) + d$ から $-3 = 5-8+d$ から $-3 = -3+d$ から $d=0$

$10 = 5c+e$ より、$10 = 5(2)+e$ から $10 = 10+e$ から $e=0$

よって、エは2、オは0、カは0です。

3. 最終的な答え

ア: $2-i$

イ: $4$

ウ: $5$

エ: $2$

オ: $0$

カ: $0$