$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 2 = 0$ が $1+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解 $x$ を求める問題です。ただし、$i$ は虚数単位です。

1. 問題の内容

$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 2 = 0$ が $1+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解 $x$ を求める問題です。ただし、$i$ は虚数単位です。

2. 解き方の手順

(1) $1+i$ が解であることから、共役複素数である $1-i$ も解となります（係数が実数なので）。

(2) 3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、$\alpha = 1+i, \beta = 1-i$ となります。残りの解を $\gamma$ とします。

(3) 解と係数の関係を利用します。

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$

$\alpha\beta\gamma = -c$

という関係が成り立ちます。

(4) 今回の問題では、

$\alpha + \beta + \gamma = (1+i) + (1-i) + \gamma = 2 + \gamma = -a$ ...(1)

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (1+i)(1-i) + (1-i)\gamma + \gamma(1+i) = 1 - i^2 + \gamma - i\gamma + \gamma + i\gamma = 2 + 2\gamma = b$ ...(2)

$\alpha\beta\gamma = (1+i)(1-i)\gamma = (1 - i^2)\gamma = 2\gamma = -2$ ...(3)

(5) (3)式より、$2\gamma = -2$ なので、$\gamma = -1$ となります。

(6) (1)式に $\gamma = -1$ を代入すると、$2 + (-1) = -a$ より、$1 = -a$ となるので、$a = -1$ となります。

(7) (2)式に $\gamma = -1$ を代入すると、$2 + 2(-1) = b$ より、$0 = b$ となるので、$b = 0$ となります。

(8) したがって、$a = -1$, $b = 0$, 他の解は $x = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 0$

$x = -1$