$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $1+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解 $x$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

1. 問題の内容

$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $1+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解 $x$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

2. 解き方の手順

まず、係数が実数である3次方程式が複素数解 $1+2i$ を持つならば、その共役複素数 $1-2i$ も解に持つ。

したがって、3つの解を $1+2i, 1-2i, \alpha$ とおくことができる。

解と係数の関係より、

(1) 3つの解の和: $(1+2i) + (1-2i) + \alpha = -a$

(2) 2つずつの解の積の和: $(1+2i)(1-2i) + (1+2i)\alpha + (1-2i)\alpha = b$

(3) 3つの解の積: $(1+2i)(1-2i)\alpha = -10$

(3)より、

$(1^2 - (2i)^2)\alpha = -10$

$(1 - (-4))\alpha = -10$

$5\alpha = -10$

$\alpha = -2$

これで３つの解は $-2, 1+2i, 1-2i$ と求まった。

(1)より、

$2 + \alpha = -a$

$2 + (-2) = -a$

$0 = -a$

$a = 0$

(2)より、

$(1+4) + \alpha(1+2i+1-2i) = b$

$5 + (-2)(2) = b$

$5 - 4 = b$

$b = 1$

3. 最終的な答え

$a = 0$

$b = 1$

$x = -2$