3次方程式 $x^3 + ax^2 - x + b = 0$ が $-1+2i$ を解に持つとき、実数 $a, b$ の値を求め、残りの解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 - x + b = 0$ が $-1+2i$ を解に持つとき、実数 $a, b$ の値を求め、残りの解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、方程式が実数係数なので、$-1+2i$ が解ならば、その共役複素数 $-1-2i$ も解です。

$\alpha = -1+2i$ とおくと、$\bar{\alpha} = -1-2i$ です。（アの解答）

$g(x) = (x - \alpha)(x - \bar{\alpha})$ とおくと、

$g(x) = (x - (-1+2i))(x - (-1-2i)) = (x+1-2i)(x+1+2i) = (x+1)^2 - (2i)^2 = x^2 + 2x + 1 - (-4) = x^2 + 2x + 5$ となります。

よって、$g(x) = x^2 + 2x + 5$ です。（イの解答は2, ウの解答は5）

次に、$x^3 + ax^2 - x + b$ を $g(x)$ で割ると、

$x^3 + ax^2 - x + b = (x^2 + 2x + 5)(x + (a-2)) + (-1 - 2(a-2) - 5)x + (b - 5(a-2))$

$= (x^2+2x+5)(x+a-2) + (-2a-2)x + (b - 5a + 10)$

となります。（エの解答はa-2、オの解答は-2a-2, カの解答はb-5a+10）

$x^3 + ax^2 - x + b$ が $g(x)$ で割り切れるので、余りは0。

したがって、$-2a-2 = 0$ かつ $b-5a+10=0$。

$-2a-2 = 0$ より、 $a = -1$

$b - 5(-1) + 10 = 0$ より $b = -15$ となります。

（キの解答は-1, クの解答は-15）

$x^3 + ax^2 - x + b = 0$ の解は $\alpha, \bar{\alpha}, x$ です。

$x + a - 2 = 0$ より $x = -a + 2 = -(-1) + 2 = 3$

よって、解は $-1+2i, -1-2i, 3$ となります。（ケの解答は3）

3. 最終的な答え

ア: -1-2i

イ: 2

ウ: 5

エ: a-2

オ: -2a-2

カ: b-5a+10

キ: -1

ク: -15

ケ: 3