数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。具体的には以下の3つの問題があります。 (1) $S_n = 4n^2 - 3n$ (2) $S_n = n^3 + 2$ (3) $S_n = 3^n - 1$

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。具体的には以下の3つの問題があります。

(1) $S_n = 4n^2 - 3n$

(2) $S_n = n^3 + 2$

(3) $S_n = 3^n - 1$

2. 解き方の手順

一般項 $a_n$ は、和 $S_n$ を用いて以下のように表すことができます。

* $n = 1$ のとき: $a_1 = S_1$

* $n \ge 2$ のとき: $a_n = S_n - S_{n-1}$

それぞれの問題について、上記の手順で解いていきます。

(1) $S_n = 4n^2 - 3n$

* $n = 1$ のとき: $a_1 = S_1 = 4(1)^2 - 3(1) = 4 - 3 = 1$

* $n \ge 2$ のとき:

$a_n = S_n - S_{n-1} = (4n^2 - 3n) - [4(n-1)^2 - 3(n-1)]$

$= 4n^2 - 3n - [4(n^2 - 2n + 1) - 3n + 3]$

$= 4n^2 - 3n - (4n^2 - 8n + 4 - 3n + 3)$

$= 4n^2 - 3n - (4n^2 - 11n + 7)$

$= 4n^2 - 3n - 4n^2 + 11n - 7$

$= 8n - 7$

$n=1$ のとき $8n-7 = 8(1)-7 = 1$ となり、$a_1=1$ と一致するので、$a_n = 8n - 7$ は $n=1$ のときも成立します。

(2) $S_n = n^3 + 2$

* $n = 1$ のとき: $a_1 = S_1 = (1)^3 + 2 = 1 + 2 = 3$

* $n \ge 2$ のとき:

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 + 2) - [(n-1)^3 + 2]$

$= n^3 + 2 - [(n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + 2]$

$= n^3 + 2 - (n^3 - 3n^2 + 3n + 1)$

$= n^3 + 2 - n^3 + 3n^2 - 3n - 1$

$= 3n^2 - 3n + 1$

$n=1$ のとき $3n^2 - 3n + 1 = 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 3-3+1=1$ となり、$a_1 = 3$ と一致しないので、場合分けが必要です。

(3) $S_n = 3^n - 1$

* $n = 1$ のとき: $a_1 = S_1 = 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2$

* $n \ge 2$ のとき:

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3^n - 1) - (3^{n-1} - 1)$

$= 3^n - 1 - 3^{n-1} + 1$

$= 3^n - 3^{n-1}$

$= 3^{n-1}(3 - 1)$

$= 2 \cdot 3^{n-1}$

$n=1$ のとき $2 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2$ となり、$a_1 = 2$ と一致するので、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ は $n=1$ のときも成立します。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 8n - 7$

(2) $a_1 = 3, a_n = 3n^2 - 3n + 1 \ (n \ge 2)$

(3) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$