与えられた2つの行列式を計算する問題です。 (1) の行列式は $ \begin{vmatrix} a+b+c & a+b & a & a \\ a+b & a+b+c & a & a \\ a & a & a+b+c & a+b \\ a & a & a+b & a+b+c \end{vmatrix} $ です。 (2) の行列式は $ \begin{vmatrix} b^2+c^2 & ab & ca \\ ab & c^2+a^2 & bc \\ ca & bc & a^2+b^2 \end{vmatrix} $ です。

1. 問題の内容

与えられた2つの行列式を計算する問題です。

(1) の行列式は

$\begin{vmatrix} a+b+c & a+b & a & a \\ a+b & a+b+c & a & a \\ a & a & a+b+c & a+b \\ a & a & a+b & a+b+c \end{vmatrix}$

です。

(2) の行列式は

$\begin{vmatrix} b^2+c^2 & ab & ca \\ ab & c^2+a^2 & bc \\ ca & bc & a^2+b^2 \end{vmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

(1) の行列式を計算します。

まず、各行をすべて足し合わせて1行目にします。

$\begin{vmatrix} 4a+4b+4c & 4a+4b+4c & 4a+4b+4c & 4a+4b+4c \\ a+b & a+b+c & a & a \\ a & a & a+b+c & a+b \\ a & a & a+b & a+b+c \end{vmatrix}$

$4(a+b+c)$ をくくりだすと

$4(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a+b & a+b+c & a & a \\ a & a & a+b+c & a+b \\ a & a & a+b & a+b+c \end{vmatrix}$

次に、2列目から1列目を、3列目から1列目を、4列目から1列目を引きます。

$4(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ a+b & c & -b & -b \\ a & 0 & b+c & b \\ a & 0 & b & b+c \end{vmatrix}$

1行目で余因子展開すると

$4(a+b+c) \begin{vmatrix} c & -b & -b \\ 0 & b+c & b \\ 0 & b & b+c \end{vmatrix}$

1列目で余因子展開すると

$4(a+b+c) c \begin{vmatrix} b+c & b \\ b & b+c \end{vmatrix}$

$4(a+b+c) c ((b+c)^2 - b^2) = 4(a+b+c) c (b^2 + 2bc + c^2 - b^2) = 4(a+b+c) c (2bc + c^2) = 4c^2(a+b+c)(2b+c)$

次に(2) の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} b^2+c^2 & ab & ca \\ ab & c^2+a^2 & bc \\ ca & bc & a^2+b^2 \end{vmatrix}$

サラスの公式を用いて計算します。

$(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a^2+b^2) + ab \cdot bc \cdot ca + ca \cdot ab \cdot bc - ca(c^2+a^2)ca - (b^2+c^2)bc^2 - ab \cdot ab \cdot (a^2+b^2)$

$(b^2+c^2)(c^2a^2 + c^2b^2 + a^4 + a^2b^2) + a^2b^2c^2 + a^2b^2c^2 - c^4a^2 - c^2a^4 - b^3c^2 - b c^4 - a^4b^2 - a^2b^4$

$b^2c^2a^2 + b^2c^2b^2 + b^2a^4 + b^2a^2b^2 + c^4a^2 + c^4b^2 + c^2a^4 + c^2a^2b^2 + 2a^2b^2c^2 - c^4a^2 - c^2a^4 - b^3c^2 - b c^4 - a^4b^2 - a^2b^4$

$a^2b^4 + b^4c^2 + b^2c^2a^2 + c^4b^2 + a^2b^2c^2 + 2a^2b^2c^2 - a^2b^4 - b^3c^2 - b c^4 - b^4a^2$

$a^4b^2+a^4c^2+b^4a^2+b^4c^2+c^4a^2+c^4b^2+2a^2b^2c^2$

$a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^4b^2-a^2b^4 - a^4c^2 - c^4b^2-a^2c^4-b^4c^2+4a^2b^2c^2$

$= 4a^2b^2c^2$

3. 最終的な答え

(1) の行列式の値は $4abc(a+b+c)$ です。

(2) の行列式の値は $4a^2b^2c^2$ です。