与えられた3つの行列のランクを求めます。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列のランクを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ のランクを求める。

まず、行列式を計算します。

$2(0*1 - 1*1) - 1(1*1 - 0*1) + 2(1*1 - 0*0) = 2(-1) - 1(1) + 2(1) = -2 - 1 + 2 = -1$

行列式が0でないので、ランクは3です。

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 2 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & 1 & 8 \end{pmatrix}$ のランクを求める。

この行列を簡約化して、ランクを求めます。

まず1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & -5 & -9 & 8 \\ 0 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & -7 & -9 & 16 \end{pmatrix}$

2行目を-5で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 1 & 9/5 & -8/5 \\ 0 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & -7 & -9 & 16 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。4行目に2行目の7倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 1 & 9/5 & -8/5 \\ 0 & 0 & -3/5 & 6/5 \\ 0 & 0 & 18/5 & 24/5 \end{pmatrix}$

3行目を-5/3倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 1 & 9/5 & -8/5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 18/5 & 24/5 \end{pmatrix}$

4行目から3行目の18/5倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 1 & 9/5 & -8/5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}$

4行目を12で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 1 & 9/5 & -8/5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ランクは4です。

(3) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & -1 & 6 \\ 3 & -3 & 9 & 2 \end{pmatrix}$ のランクを求める。

2行目から1行目の2倍を引きます。3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 2 \\ 0 & -6 & 6 & -4 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の2倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ランクは2です。

3. 最終的な答え

(1) のランク: 3

(2) のランク: 4

(3) のランク: 2