曲線 $y = \sqrt{x+2}$ と直線 $y = x+a$ が共有点を持つとき、定数 $a$ の取りうる値の範囲を求め、さらに共有点の数が2個であるときの $a$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x+2}$ と直線 $y = x+a$ が共有点を持つとき、定数 $a$ の取りうる値の範囲を求め、さらに共有点の数が2個であるときの $a$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{x+2}$ と $y = x+a$ の連立方程式を解きます。

$\sqrt{x+2} = x+a$

両辺を2乗して、$x+2 = (x+a)^2$

$x+2 = x^2 + 2ax + a^2$

$x^2 + (2a-1)x + a^2 - 2 = 0$

この2次方程式が実数解を持つ条件を考えます。判別式を $D$ とすると、

$D = (2a-1)^2 - 4(a^2-2) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 8 = -4a + 9$

共有点を持つためには、$D \geq 0$ である必要があるので、

$-4a + 9 \geq 0$

$4a \leq 9$

$a \leq \frac{9}{4}$

また、$\sqrt{x+2} = x+a$ であることから、$x+a \geq 0$ である必要があり、

$x \geq -a$

$x^2 + (2a-1)x + a^2 - 2 = 0$ の解を $x_1, x_2$ とすると、解の公式より

$x = \frac{-(2a-1) \pm \sqrt{-4a+9}}{2}$

$x+2 \geq 0$ より、$x \geq -2$。$y=\sqrt{x+2}$ のグラフは、$x \geq -2$ の範囲で定義されています。

$y=x+a$ のグラフは傾き1の直線です。

$a$ の最大値は、直線が $y = \sqrt{x+2}$ と接する場合です。

接する場合は、$D=0$ なので、$-4a+9 = 0$ より、$a = \frac{9}{4}$

このとき、$x = \frac{-(2 \cdot \frac{9}{4} - 1)}{2} = \frac{-\frac{7}{2}}{2} = -\frac{7}{4} > -2$

$x+a = -\frac{7}{4} + \frac{9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \geq 0$ なので問題ありません。

次に、$x = -2$ のとき、$y = \sqrt{-2+2} = 0$ です。

$y = x+a$ に代入すると、$0 = -2+a$ より、$a = 2$。

$a=2$ のとき、交点は1つです。

共有点を2つ持つためには、$2 < a < \frac{9}{4}$ である必要があります。

3. 最終的な答え

共有点を持つときの $a$ の範囲: $a \leq \frac{9}{4}$

共有点が2個であるときの $a$ の範囲: $2 < a < \frac{9}{4}$