方程式 $\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{x^2 - 2}(2x) = 1$ の解を求める。また、$p, q, r$ を1でない正の実数、$q$ を正の実数として、$\log_q r \cdot \log_r p = 1$ を満たすときの $p, q, r$ の関係について考察する。さらに、$\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{3x+2}(2x) = 1$ と $\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{3x+2}(4x) = 1$, $\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{5-x}(4x) = 1$ について、実数解の個数を調べる。

1. 問題の内容

方程式 $\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{x^2 - 2}(2x) = 1$ の解を求める。また、$p, q, r$ を1でない正の実数、$q$ を正の実数として、$\log_q r \cdot \log_r p = 1$ を満たすときの $p, q, r$ の関係について考察する。さらに、$\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{3x+2}(2x) = 1$ と $\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{3x+2}(4x) = 1$, $\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{5-x}(4x) = 1$ について、実数解の個数を調べる。

2. 解き方の手順

(1) $\log_q r \cdot \log_r p = 1$ について考える。底の変換公式より、

$\log_q r \cdot \log_r p = \frac{\log r}{\log q} \cdot \frac{\log p}{\log r} = \frac{\log p}{\log q} = \log_q p = 1$

よって、$p = q$ である。したがって、最も適切なものは、$p = q$ を表す式である。

(2) 方程式 $\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{3x+2}(2x) = 1$ を解く。底の変換公式より、

$\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{3x+2}(2x) = \frac{\log(x^2 - 2)}{\log(2x)} \cdot \frac{\log(2x)}{\log(3x+2)} = \frac{\log(x^2 - 2)}{\log(3x+2)} = \log_{3x+2}(x^2 - 2) = 1$

よって、$x^2 - 2 = 3x + 2$ より、$x^2 - 3x - 4 = 0$。$(x - 4)(x + 1) = 0$ より、$x = 4, -1$。

$2x > 0, 2x \neq 1, x^2 - 2 > 0, 3x + 2 > 0, 3x+2 \neq 1$ を満たす必要がある。

$x > 0$ より、$x = -1$ は不適。

$x = 4$ のとき、$2x = 8 > 0$, $2x \neq 1$, $x^2 - 2 = 14 > 0$, $3x+2 = 14 > 0$, $3x+2 \neq 1$ を満たすので、$x = 4$ は解である。

(3) 方程式 $\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{3x+2}(4x) = 1$ について考える。

$\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{3x+2}(4x) = \frac{\log (x^2-2)}{\log (2x)} \cdot \frac{\log (4x)}{\log (3x+2)} = 1$

この方程式を解くのは難しいので、実数解の個数だけを考える。

$f(x) = \log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{3x+2}(4x)$ とする。

$x=4$ を代入すると $\log_8 (14) \cdot \log_{14}(16) = \frac{\log 14}{\log 8} \cdot \frac{\log 16}{\log 14} = \frac{\log 16}{\log 8} = \frac{4 \log 2}{3 \log 2} = \frac{4}{3} \neq 1$ となる。

$2x > 0, 2x \neq 1, x^2 - 2 > 0, 3x + 2 > 0, 3x+2 \neq 1, 4x > 0$ を満たす必要があり、$x > 0$ である。

$x > \sqrt{2}$ が必要。

実数解の個数は2個以上である。

方程式 $\log_{2x}(x^2 - 2) \cdot \log_{5-x}(4x) = 1$ について考える。

$2x > 0, 2x \neq 1, x^2 - 2 > 0, 5 - x > 0, 5 - x \neq 1, 4x > 0$ を満たす必要があり、$0 < x < 5$ である。

$x=2$を代入すると $\log_4 2 \cdot \log_3 8 = 1/2 \cdot \log_3 8$ となり、$1$とはならない。

$x=3$を代入すると $\log_6 7 \cdot \log_2 12 = \frac{\log 7}{\log 6} \cdot \frac{\log 12}{\log 2} = \frac{\log 7 \log 12}{\log 6 \log 2}$ となり、$1$とはならない。

この方程式を解くのは難しいので、実数解の個数だけを考える。

$x = 2.5$ の近傍で考えてみる。

実数解の個数は2個以上である。

3. 最終的な答え

ア：0

イ：4

ウ：2

エ：2