例12において、$\angle \alpha \beta \gamma$の値を求めよ。ただし、$-\pi < \angle \alpha \beta \gamma \le \pi$とする。例12では、$\alpha = 1-2i$, $\beta = -i$, $\gamma = (1+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})i$であり、$-\pi < \angle \beta \alpha \gamma \le \pi$の範囲で考えたとき、$\angle \beta \alpha \gamma = -\frac{\pi}{2}$と求められている。

1. 問題の内容

例12において、$\angle \alpha \beta \gamma$の値を求めよ。ただし、$-\pi < \angle \alpha \beta \gamma \le \pi$とする。例12では、$\alpha = 1-2i$, $\beta = -i$, $\gamma = (1+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})i$であり、$-\pi < \angle \beta \alpha \gamma \le \pi$の範囲で考えたとき、$\angle \beta \alpha \gamma = -\frac{\pi}{2}$と求められている。

2. 解き方の手順

$\angle \alpha \beta \gamma = \arg \frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}$である。

まず、$\gamma-\beta$と$\alpha-\beta$を計算する。

$\gamma - \beta = (1+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})i - (-i) = (1+\sqrt{3}) + (-2+\sqrt{3}+1)i = (1+\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1)i$

$\alpha - \beta = 1-2i - (-i) = 1-i$

したがって、

$\frac{\gamma - \beta}{\alpha - \beta} = \frac{(1+\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1)i}{1-i} = \frac{((1+\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1)i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+\sqrt{3} + (\sqrt{3}-1)i + (1+\sqrt{3})i + (\sqrt{3}-1)i^2}{1-i^2} = \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{3}i-i+i+\sqrt{3}i -1 +i^2\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}-1-\sqrt{3} + (2\sqrt{3})i}{2}= \frac{2\sqrt{3}i}{2} = \sqrt{3} i$

よって、$\arg(\sqrt{3} i) = \frac{\pi}{2}$

したがって、$\angle \alpha \beta \gamma = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$