与えられた式 $a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b) = a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b$

次に、式を整理します。

$a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b = a^3b - b^3a - a^3c + c^3a + b^3c - c^3b$

さらに、式を因数分解しやすいように組み替えます。

$(a^3b - b^3a) + (c^3a - a^3c) + (b^3c - c^3b) = ab(a^2 - b^2) - ac(a^2 - c^2) + bc(b^2 - c^2)$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$, $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$ を代入します。

$ab(a - b)(a + b) - ac(a - c)(a + c) + bc(b - c)(b + c)$

ここで、$a-b$、$b-c$、$c-a$ が因数として現れることを利用します。

元の式は、変数 $a, b, c$ に関して交代式であるため、$(a-b)$, $(b-c)$, $(c-a)$ を因数に持ちます。

与えられた式に $a=b$ を代入すると、

$a^3(a-c) + a^3(c-a) + c^3(a-a) = a^4 - a^3c + a^3c - a^4 + 0 = 0$

よって、$a-b$ は因数です。同様に、$b-c$、$c-a$ も因数です。

求める因数分解の結果を $k(a-b)(b-c)(c-a)$ とおきます。

ここで、$k$ は $a,b,c$ の一次式です。

元の式 $a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b$ と比較して、$a^3b$ の項があることから、$k$ は定数ではないことがわかります。

次数を比較すると、$k$は１次式なので、$k = -(a+b+c)$。

したがって、

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

別解：

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$

$= a^3(b-c) + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b$

$= a^3(b-c) + bc(b^2-c^2) - a(b^3-c^3)$

$= a^3(b-c) + bc(b-c)(b+c) - a(b-c)(b^2+bc+c^2)$

$= (b-c)[a^3 + bc(b+c) - a(b^2+bc+c^2)]$

$= (b-c)[a^3 + b^2c+bc^2 - ab^2-abc-ac^2]$

$= (b-c)[a^3 - ab^2-abc-ac^2 + b^2c+bc^2]$

$= (b-c)[(a-b)(a^2 + ab + b^2) - c(a-b)(a+b) - ac(a-b) - bc(a-b)]$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$