与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標が$(1, -3)$で、点$(3, 5)$を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。 (2) 軸が直線$x=-1$で、2点$(0, 5)$、$(2, -11)$を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標が$(1, -3)$で、点$(3, 5)$を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。

(2) 軸が直線$x=-1$で、2点$(0, 5)$、$(2, -11)$を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標が与えられているので、2次関数を$y = a(x - p)^2 + q$の形でおきます。頂点の座標$(p, q)$を代入します。

次に、与えられた点$(3, 5)$を代入して、$a$の値を求めます。

2次関数は

$y = a(x - 1)^2 - 3$

点 $(3, 5)$ を通るので、

$5 = a(3 - 1)^2 - 3$

$5 = 4a - 3$

$4a = 8$

$a = 2$

よって、2次関数は

$y = 2(x - 1)^2 - 3$

$y = 2(x^2 - 2x + 1) - 3$

$y = 2x^2 - 4x + 2 - 3$

$y = 2x^2 - 4x - 1$

(2) 軸が$x = -1$であることから、2次関数を$y = a(x + 1)^2 + q$の形でおきます。

次に、与えられた2点$(0, 5)$と$(2, -11)$を代入して、$a$と$q$に関する連立方程式を立てて解きます。

2次関数は

$y = a(x + 1)^2 + q$

点 $(0, 5)$ を通るので、

$5 = a(0 + 1)^2 + q$

$5 = a + q$ ...(1)

点 $(2, -11)$ を通るので、

$-11 = a(2 + 1)^2 + q$

$-11 = 9a + q$ ...(2)

(2) - (1) より

$-11 - 5 = 9a - a + q - q$

$-16 = 8a$

$a = -2$

(1) に代入して

$5 = -2 + q$

$q = 7$

よって、2次関数は

$y = -2(x + 1)^2 + 7$

$y = -2(x^2 + 2x + 1) + 7$

$y = -2x^2 - 4x - 2 + 7$

$y = -2x^2 - 4x + 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 4x - 1$

(2) $y = -2x^2 - 4x + 5$