不等式 $5(x-1) < 2(2x+a)$ を満たす $x$ のうち、最大の整数が6であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $5(x-1) < 2(2x+a)$ を満たす $x$ のうち、最大の整数が6であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $x$ について解きます。

$5(x-1) < 2(2x+a)$

$5x - 5 < 4x + 2a$

$5x - 4x < 2a + 5$

$x < 2a + 5$

この不等式を満たす $x$ のうち最大の整数が6であることから、次の不等式が成り立ちます。

$6 < 2a + 5 \leq 7$

なぜなら、$x < 2a + 5$を満たす最大の整数が6ということは、$2a+5$ は6より大きく、7以下である必要があるからです。もし $2a+5$ が7より大きいと、$x$が7になる可能性があり、最大の整数が6であることに矛盾します。

上記の不等式を $a$ について解きます。

まず、すべての辺から5を引きます。

$6 - 5 < 2a + 5 - 5 \leq 7 - 5$

$1 < 2a \leq 2$

次に、すべての辺を2で割ります。

$\frac{1}{2} < a \leq 1$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} < a \leq 1$

選択肢3が正しいです。